⋯ D D D D D D D D D D D $\cdots$

这段话定义了本节的核心概念：平面等距变换，并阐述了这些变换在群论框架下的性质。

1. 起点：欧几里得平面
   • 首先，我们将舞台设定在欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$ 上。这是我们熟悉的二维笛卡尔坐标系，由无数个点 $(x, y)$ 组成，其中 $x$ 和 $y$ 都是实数。这个平面的关键特性是我们可以测量任意两点之间的距离（即欧几里得距离）。
2. 核心定义：等距变换
   • 等距变换 (Isometry) 是一种特殊的函数或映射，记作 $\phi$。这个函数的作用是“移动”平面上的每一个点。
   • 它是一个置换 $\phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$。这里的“置换”一词在几何背景下，意味着它是一个双射（bijection），即一一对应的映射。这意味着：
   • 单射（Injective）：平面上没有两个不同的点会被 $\phi$ 映射到同一个点。
   • 满射（Surjective）：平面上的每一个点都能被某个点通过 $\phi$ 映射得到。
   • 简单来说，$\phi$ 对整个平面进行了一次“重新排列”，不丢失任何点，也不创造新的点，更不会把两个点合并成一个。
   • 最关键的性质是“保持距离”。假设 $P$ 和 $Q$ 是平面上的任意两个点，它们之间的距离是 $d(P, Q)$。经过等距变换 $\phi$ 后，这两个点被移动到了新的位置 $\phi(P)$ 和 $\phi(Q)$。这两个新点之间的距离 $d(\phi(P), \phi(Q))$ 必须与原来两点间的距离完全相等，即 $d(P, Q) = d(\phi(P), \phi(Q))$。
   • 因为等距变换保持距离，所以它也保持了图形的形状和大小。一个三角形变换后还是一个全等的三角形。这就是为什么等距变换也被称为“刚体运动”。
3. 群的性质：封闭性、单位元、逆元
   • 复合（封闭性）：如果我们先对平面做一个等距变换 $\phi$，然后再做一个等距变换 $\psi$，会发生什么？这个过程称为复合，记作 $\psi \circ \phi$。原文论证了这种复合操作的结果仍然是一个等距变换。
   • $\phi$ 保持距离：$d(P, Q) = d(\phi(P), \phi(Q))$。
   • $\psi$ 也保持距离：$d(\phi(P), \phi(Q)) = d(\psi(\phi(P)), \psi(\phi(Q)))$。
   • 因此，通过传递性，$d(P, Q) = d(\psi(\phi(P)), \psi(\phi(Q)))$。这意味着复合变换 $\psi \circ \phi$ 也保持距离，所以它也是一个等距变换。这证明了等距变换的集合在复合运算下是封闭的。
   • 恒等映射（单位元）：恒等映射是指将每个点都映射到其自身的变换，即 $I(P) = P$。这个变换显然保持距离，因为 $d(P, Q) = d(I(P), I(Q))$。所以恒等映射是一个等距变换，它扮演了群中单位元的角色。
   • 逆变换（逆元）：因为等距变换 $\phi$ 是一个双射，所以它一定存在一个逆映射 $\phi^{-1}$，可以将变换后的点“送回”原来的位置。如果 $\phi$ 保持距离，那么它的逆变换 $\phi^{-1}$ 也必然保持距离。因此，每个等距变换都有一个对应的逆变换，这个逆变换也是一个等距变换。这满足了群中逆元存在的条件。
4. 结论：等距变换群
   • 一个集合配上一个运算，如果满足封闭性、结合律（函数复合天然满足）、存在单位元和逆元，那么它就构成一个群。
   • 我们已经验证了所有平面等距变换的集合，在函数复合运算下，满足了这些条件。
   • 因此，所有平面等距变换构成一个群，称为平面等距变换群或欧几里得群 $E(2)$。
   • 这个群是 $\mathbb{R}^2$ 上所有置换（即所有双射）构成的更大群的一个子群，因为等距变换只是众多置换中满足“保持距离”这一额外条件的一小部分。

这段话将等距变换的概念与特定图形的对称性联系起来，定义了核心概念——对称群。

1. 从整个平面到特定图形：
   • 上一段讨论的是作用于整个平面的等距变换。现在，我们将注意力集中在一个特定的图形上，这个图形是平面 $\mathbb{R}^2$ 的一个子集 $S$。这个 $S$ 可以是一个三角形、一个正方形、一个圆，甚至是一串字母。
2. 对称操作的定义：
   • 我们寻找这样一种等距变换 $\phi$：当它作用于整个平面时，图形 $S$ 上的所有点经过变换后，仍然落在图形 $S$ 的范围内。换句话说，变换后的图形 $\phi(S)$ 和原来的图形 $S$ 完全重合，即 $\phi(S) = S$。
   • 这样的等距变换 $\phi$ 被称为图形 $S$ 的一个对称操作或对称。它是一种让图形“看起来没变”的刚体运动。
3. 对称群的构成：
   • 我们把一个图形 $S$ 的所有对称操作收集起来，形成一个集合。这个集合是所有平面等距变换集合的一个子集。
   • 原文断言，这个对称操作的集合本身也构成一个群。为什么呢？我们需要验证它满足子群的条件：
   • 封闭性：如果 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 都是 $S$ 的对称操作，即 $\phi_1(S) = S$ 和 $\phi_2(S) = S$。那么它们的复合 $\phi_2 \circ \phi_1$ 作用于 $S$ 的结果是 $\phi_2(\phi_1(S)) = \phi_2(S) = S$。所以复合操作也是 $S$ 的一个对称操作。封闭性满足。
   • 单位元：恒等变换 $I$ 总是存在的，$I(S) = S$，所以它一定是任何图形 $S$ 的一个对称操作。
   • 逆元：如果 $\phi$ 是一个对称操作，$\phi(S) = S$。对这个等式两边同时应用 $\phi^{-1}$，得到 $\phi^{-1}(\phi(S)) = \phi^{-1}(S)$。左边是 $I(S) = S$，所以我们有 $S = \phi^{-1}(S)$。这意味着 $\phi$ 的逆变换 $\phi^{-1}$ 也是 $S$ 的一个对称操作。逆元存在。
   • 既然这个集合对复合运算封闭，且包含单位元和每个元素的逆元，那么它就是平面等距变换群的一个子群。
4. 对称群的命名：
   • 这个由图形 $S$ 的所有对称操作构成的子群，就被正式命名为“$S$ 的对称群”。它用代数结构精确地描述了一个几何图形的全部对称性。
5. 回顾与联系：
   • 作者提到，在之前的第8节中已经具体研究过两个例子：等边三角形的对称群（即二面体群 $D_3$）和正方形的对称群（即二面体群 $D_4$），并给出了它们的群表（类似于乘法表，显示了所有元素复合的结果）。这旨在唤起读者的记忆，将抽象定义与具体实例联系起来。

这是一个简短的过渡段落，旨在说明前面概念的普适性，并同时明确本节的讨论范围。

1. 概念的普适性：
   • 作者指出，等距变换和对称群的定义并不局限于二维平面。
   • 我们可以将这些概念直接推广到 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$。
   • 在 $\mathbb{R}^n$ 中，一个点由 $n$ 个坐标 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 表示。
   • 两点间的距离公式变为 $d(P, Q) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \ldots + (p_n-q_n)^2}$。
   • $\mathbb{R}^n$ 上的等距变换就是一个保持这个 $n$ 维距离不变的双射 $\phi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$。
   • 同样，$\mathbb{R}^n$ 中所有等距变换也构成一个群 $E(n)$。
   • 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的任何一个子集（一个 $n$ 维物体），其对称群就是 $E(n)$ 中所有使该物体保持不变的变换构成的子群。
2. 明确讨论范围：
   • 尽管这些概念可以推广到任意维度，但作者明确表示，本节的焦点将集中在二维情况，即平面等距变换上。
   • 这是为了简化问题，使讨论更具体、更直观，因为我们更容易在二维平面上想象和描绘这些变换。三维及更高维度的等距变换会变得更加复杂（例如，三维空间中的旋转需要一个旋转轴，而不仅仅是一个旋转中心）。

这段是引言，预告了接下来将要介绍的内容：平面等距变换的完整分类。

1. 核心论断：
   • 作者提出了一个非常强有力的结论：“平面上的每个等距变换都只有四种类型”。这意味着任何一个你能想到的、保持平面距离不变的刚体运动，都必然是这四种类型中的一种（或者恒等变换）。
   • 这是一个数学定理，其证明比较复杂，作者在此选择直接引用（"参见Artin [5]"），而不展开证明。这在教科书中很常见，目的是让读者先掌握结论和应用。
2. 内容预告：
   • 接下来，作者将逐一介绍这四种类型。
   • 为了帮助理解，每种类型都会配上一个插图。插图中的图形被设计成在该种类型的等距变换下保持不变，从而直观地展示了该变换的特性。
   • 作者特别说明了图12.1、12.3和12.4中带箭头的线是无限延伸的，这是为了强调这些变换（如平移）作用在整个无限平面上。
   • 除了图形，每种类型还会提供一个具体的坐标变换公式作为示例，这有助于从代数角度精确理解变换的规则。

1. 定义：平移是最简单的一种等距变换。它的特点是平面上的每一个点都朝着同一个方向移动了完全相同的距离。就像把一张纸在桌面上滑动，纸上的所有点都经历了相同的位移。
2. 符号：通常用希腊字母 $\tau$ (tau) 来表示平移。
3. 几何图像：图12.1展示了一条带有重复图案的无限长带子。这个带子在向右（或向左）平移一个单位图案的距离后，看起来和原来一模一样。这表明该平移是这个带状图案的一个对称操作。图中的小箭头从一个图案指向下一个相同的图案，直观地表示了平移的向量。
4. 代数表示：
   • 示例 $\tau(x, y)=(x, y)+(2,-3)=(x+2, y-3)$ 极好地诠释了平移。
   • 一个点 $(x, y)$ 经过变换 $\tau$ 后，它的新坐标是原坐标加上一个固定的平移向量 $(2, -3)$。
   • 这意味着 $x$ 坐标增加了2（向右移动2个单位），$y$ 坐标减少了3（向下移动3个单位）。
   • 这个向量 $(2, -3)$ 对平面上所有的点都是一样的，体现了“同一方向，相同距离”的特性。

1. 定义：旋转是另一种常见的等距变换。它由两个关键要素定义：
   • 一个旋转中心 $P$：这是平面上唯一一个在旋转过程中保持不动的点。
   • 一个旋转角度 $\theta$：这决定了平面上的点绕中心 $P$ 转了多少度。通常规定逆时针为正方向。
2. 符号：通常用希腊字母 $\rho$ (rho) 来表示旋转。
3. 几何图像：图12.2展示了一个风车或飞镖盘的形状。这个图形绕其中心点旋转一定角度（例如 $90^\circ$, $120^\circ$ 等）后，可以与自身重合。中心点就是旋转中心 $P$。图中的弯曲箭头形象地表示了旋转的动作。
4. 代数表示：
   • 原文的例子 $\rho(x, y) = (-y, x)$ 是一个非常重要和常见的旋转。
   • 让我们验证一下它确实是绕原点 $(0,0)$ 逆时针旋转 $90^\circ$。
   • 取点 $A=(1, 0)$，在 $x$ 轴正半轴上。变换后 $\rho(A) = (0, 1)$，跑到了 $y$ 轴正半轴上。
   • 取点 $B=(0, 1)$，在 $y$ 轴正半轴上。变换后 $\rho(B) = (-1, 0)$，跑到了 $x$ 轴负半轴上。
   • 这确实符合逆时针旋转 $90^\circ$ 的行为。
   • 更一般的，绕原点逆时针旋转 $\theta$ 的公式是 $\rho(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$。当 $\theta = 90^\circ$ 时，$\cos 90^\circ=0, \sin 90^\circ=1$，代入公式即得 $(x\cdot 0 - y\cdot 1, x\cdot 1 + y\cdot 0) = (-y, x)$。

1. 定义：反射是第三种等距变换，它模拟了镜子成像的效果。它由一个关键要素定义：
   • 一条反射轴 $L$：这是一条直线。
2. 变换规则：对于平面上的任何一点 $P$：
   • 如果 $P$ 就在反射轴 $L$ 上，那么它经过反射后保持不动，$\mu(P) = P$。
   • 如果 $P$ 不在 $L$ 上，那么它的像 $\mu(P)$ 位于过 $P$ 且垂直于 $L$ 的直线上，并且 $P$ 和 $\mu(P)$ 到直线 $L$ 的距离相等，但位于 $L$ 的两侧。
3. 符号：通常用希腊字母 $\mu$ (mu，代表mirror) 来表示反射。
4. 几何图像：图12.3展示了一个图案，它关于中间那条垂直的反射轴 $L$ 是对称的。左边的部分是右边部分的镜像，反之亦然。如果你沿着直线 $L$ 把这张纸对折，两边的图案会完全重合。
5. 代数表示：
   • 原文的例子 $\mu(x, y) = (y, x)$ 是关于直线 $y=x$ 的反射。
   • 直线 $y=x$ 是一条穿过原点，与 $x$ 轴成 $45^\circ$ 角的直线。
   • 这个变换的作用是交换一个点的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标。
   • 例如，点 $(2, 5)$ 经过反射变成 $(5, 2)$。你可以验证这两个点关于直线 $y=x$ 是对称的。

1. 定义：滑移反射是四种类型中最不直观的一种。它是一个复合变换，由两步组成：
   • 第一步：关于某条直线 $L$ 进行一次反射。
   • 第二步：沿着同一条直线 $L$ 的方向进行一次平移。
   • 关键点在于：平移的方向必须与反射的轴线平行。
   • 这个操作的顺序可以交换：先平移再反射，得到的结果是完全一样的。
2. 符号：通常用希腊字母 $\gamma$ (gamma) 来表示滑移反射。
3. 几何图像：图12.4展示了一串脚印的图案。一个左脚印无法通过简单的平移或旋转得到下一个右脚印。你需要先将左脚印进行一次反射（变成一个右脚印的样子），然后再向前平移一段距离，才能与下一个右脚印重合。这条平移的路线（脚印序列的中心线）就是反射轴。
4. 代数表示：
   • 原文的例子 $\gamma(x, y)=(x+4,-y)$ 是一个沿 $x$ 轴的滑移反射。
   • 我们可以把它分解来看：
   • 这个变换可以看作是先做一次关于 $x$ 轴的反射：$\mu(x, y) = (x, -y)$。
   • 然后再做一次沿 $x$ 轴方向的平移：$\tau(x', y') = (x'+4, y')$。
   • 将两者复合：$\tau(\mu(x, y)) = \tau(x, -y) = (x+4, -y)$。
   • 这里的反射轴是 $x$ 轴，平移向量是 $(4, 0)$，这个向量是平行于 $x$ 轴的。因此，这符合滑移反射的定义。

这段话引入了另一个重要的分类标准：等距变换是否保持方向（Orientation）。

1. 观察图形：
   • 作者引导我们观察前面四幅图中的“手性”元素——弯曲的箭头。这些箭头可以被看作是逆时针或顺时针的。
   • 在图12.1（平移）和图12.2（旋转）中，一个逆时针的弯曲箭头变换后，仍然是一个逆时针的弯曲箭头。它的“旋转方向”没有变。
   • 在图12.3（反射）和图12.4（滑移反射）中，一个逆时针的弯曲箭头变换后，变成了一个顺时针的弯曲箭头。它的“旋转方向”被颠倒了。
2. 定义“方向”：
   • 基于上述观察，作者给出了一个等距变换的二分法：
   • 保持方向的 (Orientation-preserving)：如果变换不改变图形的“手性”（比如，左手手套变换后还是左手手套），那么它就是保持方向的。平移和旋转属于这一类。这些变换可以被想象成在平面内连续地移动和转动一个物体得到的，而不需要将物体“拎出”平面再翻转。
   • 改变方向的 (Orientation-reversing)：如果变换颠倒了图形的“手性”（左手手套变成右手手套），那么它就是改变方向的。反射和滑移反射属于这一类。这些变换都包含了一个“翻转”或“镜像”的步骤。
3. 数学上的理解：
   • 一个更严格的定义与线性代数中的行列式有关。任何一个等距变换都可以表示为一个正交矩阵 $A$ 的乘法加上一个平移向量 $\mathbf{b}$，即 $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$。
   • 如果行列式 $\det(A) = +1$，则该变换保持方向。平移和旋转的矩阵行列式为+1。
   • 如果行列式 $\det(A) = -1$，则该变换改变方向。反射和滑移反射的矩阵行列式为-1。
4. 关于特殊情况的说明：
   • 恒等变换：作者指出，恒等变换是一个特殊情况，没有被归入这四种“非平凡”类型中。它可以被看作是平移的特例（平移0距离）或旋转的特例（旋转0度）。由于这两种都是保持方向的，所以恒等变换是保持方向的。
   • 滑移反射的定义：作者强调，当我们谈论滑移反射时，我们指的是一个反射和一个非零平移的复合。如果平移距离为零，它就退化为一个纯粹的反射。这确保了四种类型的划分是清晰的（除了恒等变换）。

这是本节的第一个核心定理，它对平面上所有可能的“有限对称性”进行了完全分类。

1. 定理的对象：
   • 定理研究的是“有限等距变换群 $G$”。
   • “群 $G$”：这意味着它是一个满足群公理的等距变换的集合。
   • “有限”：意味着这个群里只有有限个等距变换元素。
   • 这正好对应于一个有界、非无限延伸的图形的对称群。例如，正方形的对称群 $D_4$ 有8个元素，是有限的。而一条无限长的直线的对称群是无限的（包含任意距离的平移）。
2. 核心结论：
   • 定理断言，任何这样的有限等距变换群，无论它看起来多复杂，其内在的代数结构必然与以下两类群中的一种同构（structurally identical）。
   • 第一类：循环群 $\mathbb{Z}_n$
   • $\mathbb{Z}_n$ 是整数模 $n$ 加法群，它是一个由单个元素生成（即“循环”）的 $n$ 阶阿贝尔群（交换群）。
   • 在几何上，$\mathbb{Z}_n$ 同构于一个只包含旋转的对称群。想象一个有 $n$ 个叶片的风车，它只有 $n$ 个旋转对称操作（包括旋转0度），没有反射对称。它的对称群就是 $\mathbb{Z}_n$。
   • 第二类：二面体群 $D_n$
   • $D_n$ 是一个 $n$ 边正多边形的对称群，它有 $2n$ 个元素。
   • 它包含 $n$ 个旋转（构成了 $\mathbb{Z}_n$ 子群）和 $n$ 个反射。
   • $D_n$ 是一个非阿贝尔群（非交换群），因为旋转和反射的复合顺序通常会影响结果。
   • 在几何上，这对应于一个既有旋转对称性又有反射对称性的图形的对称群，最典型的例子就是正 $n$ 边形。
3. 定理的威力：
   • 这个定理非常强大，因为它排除了任何其他可能性。你不可能在平面上构造一个具有有限对称性的图形，其对称群在结构上是全新的，例如同构于交错群 $A_4$ 或四元数群 $Q_8$。平面的几何约束只允许 $\mathbb{Z}_n$ 和 $D_n$ 这两种结构存在。

这是定理12.5证明的第一部分，也是最关键的一步：证明任何有限等距变换群 $G$ 必然有一个公共不动点。

1. 目标：找到一个点 $P$，使得对于群 $G$ 中的任何一个变换 $\phi$，都有 $\phi(P) = P$。这个点 $P$ 将成为所有对称操作的中心。
2. 构造候选点：
   • 证明者使用了一个非常巧妙的构造方法：质心法。
   • 首先，任意选择平面上的一个点，最方便的是原点 $O=(0,0)$。
   • 让群 $G$ 中的每一个变换 $\phi_i$ (总共有 $m$ 个) 都作用于原点 $O$，得到一个点的集合 $S = \{\phi_1(O), \phi_2(O), \ldots, \phi_m(O)\}$。我们将这些点的坐标记为 $(x_i, y_i) = \phi_i(0,0)$。这个集合 $S$ 被称为原点 $O$ 在群 $G$ 作用下的轨道（Orbit）。
   • 然后，计算这个点集 $S$ 的质心（或算术平均点）$P$。$P$ 的坐标就是 $S$ 中所有点的坐标的平均值。
   • $P_x = \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_m}{m}$
   • $P_y = \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_m}{m}$
3. 证明候选点是公共不动点：
   • 现在需要证明这个构造出来的质心 $P$ 就是我们想要的公共不动点。
   • 我们需要证明，对于 $G$ 中任意一个变换 $\phi_j$，都有 $\phi_j(P) = P$。
   • 首先，我们需要理解 $\phi_j$ 如何作用于点集 $S$。原文中有一个简短的论证：取 $S$ 中的任意一点 $(x_k, y_k) = \phi_k(0,0)$，让 $\phi_j$ 作用于它。结果是 $\phi_j(\phi_k(0,0)) = (\phi_j \circ \phi_k)(0,0)$。因为 $G$ 是一个群，所以 $\phi_j \circ \phi_k$ 的结果必然是 $G$ 中的另一个元素，我们称之为 $\phi_l$。所以 $\phi_j(\phi_k(0,0)) = \phi_l(0,0)$，结果仍然在集合 $S$ 中。此外，如果 $\phi_k \neq \phi_{k'}$, 那么 $\phi_j \circ \phi_k \neq \phi_j \circ \phi_{k'}$ (根据群的消去律)，所以 $\phi_j$ 只是对 $S$ 中的点进行了一次置换（重新排列）。
   • 关键性质：等距变换保持质心。因为等距变换是线性的（严格来说是仿射的），它保持加法和标量乘法（在向量意义上）。所以，一个点集的质心经过等距变换后，会变成变换后新点集的质心。
   • 即 $\phi_j(P) = \phi_j(\text{centroid}(S)) = \text{centroid}(\phi_j(S))$。
   • 因为 $\phi_j$ 只是置换了 $S$ 中的点，所以变换后的点集 $\phi_j(S)$ 与原始点集 $S$ 是完全相同的集合，只是元素的顺序可能变了。
   • 因此，它们的质心也必然是相同的：$\text{centroid}(\phi_j(S)) = \text{centroid}(S) = P$。
   • 综上，我们得到 $\phi_j(P) = P$。由于 $\phi_j$ 是 $G$ 中任意一个元素，所以 $P$ 是 $G$ 中所有变换的公共不动点。
4. 结论：
   • 既然所有变换都固定点 $P$，那么这些变换不可能是平移或滑移反射（因为它们没有不动点，除非是平凡情况）。
   • 因此，一个有限等距变换群 $G$ 中的所有非恒等变换，必然只能是绕公共不动点 $P$ 的旋转，或者是关于穿过 $P$ 的直线的反射。
   • 这极大地简化了问题，将我们的研究范围从四种变换缩小到了两种。

这是证明的第二部分，它利用“方向”的性质将问题分解为两种情况。

1. 构造旋转子群 H：
   • 我们已经知道 $G$ 的元素只能是旋转和反射。
   • 旋转是保持方向的，反射是改变方向的。
   • 我们把 $G$ 中所有保持方向的变换（也就是所有的旋转，加上恒等变换）收集起来，称之为集合 $H$。
   • $H$ 是 $G$ 的一个子群。为什么？
   • 封闭性：两个旋转的复合还是一个旋转（或恒等变换），都保持方向。
   • 单位元：恒等变换保持方向，在 $H$ 中。
   • 逆元：一个旋转的逆变换还是一个旋转，也保持方向。
   • 所以，$H$ 是一个只包含旋转的子群。
2. 子群 H 的大小：
   • 作者断言，$H$ 的大小（阶）要么等于 $G$ 的大小（$|H|=|G|=m$），要么恰好是 $G$ 的一半（$|H|=m/2$）。
   • 这个证明思路与证明交错群 $A_n$ 是对称群 $S_n$ 的一个指数为2的子群完全一样。
   • 我们可以定义一个符号函数 sgn，对于保持方向的变换值为+1，改变方向的为-1。这是一个从 $G$到群 $\{+1, -1\}$ 的群同态。
   • $H$ 正是这个同态的核（所有被映射到+1的元素）。根据第一同构定理，$G/H$ 同构于 sgn 的像。
   • 情况一：如果 $G$ 中没有改变方向的变换（没有反射），那么 sgn 的像只有 $\{+1\}$，$G=H$。
   • 情况二：如果 $G$ 中至少有一个反射 $\mu$，那么 sgn 的像就是 $\{+1, -1\}$。此时 $G/H$ 的阶为2，所以 $|G|/|H|=2$，即 $|G|=2|H|$ 或 $|H|=|G|/2$。
3. 情况一：G 只包含旋转 ($H=G$)
   • 如果 $G$ 中所有的变换都保持方向，那么 $G$ 就是一个有限的纯旋转群。
   • 作者指出，这样的群必然是循环群。
   • 证明思路是：因为群是有限的，所以必然存在一个旋转角度最小的非零旋转，称之为 $\rho_\theta$。可以证明，$G$ 中的任何其他旋转都必然是 $\rho_\theta$ 的整数次幂（即重复应用 $\rho_\theta$）。（这个证明类似于证明整数加法群的任何子群都是循环群的证明）。
   • 因此，这个群 $G$ 是由 $\rho_\theta$ 生成的循环群。如果它有 $m$ 个元素，那么它就同构于 $\mathbb{Z}_m$。
4. 情况二：G 既包含旋转又包含反射 ($H \neq G$)
   • 此时，$G$ 中改变方向的变换（反射）存在。根据前面的分析，旋转子群 $H$ 的大小 $|H| = n = m/2$。
   • 这意味着 $G$ 中有 $n$ 个旋转（包括恒等变换）和 $n$ 个反射。
   • $H = \{\rho_0, \rho_1, \ldots, \rho_{n-1}\}$ 是这 $n$ 个旋转的集合。
   • 取 $G$ 中任意一个反射 $\mu$。
   • 考虑由 $\mu$ 生成的 $H$ 的右陪集 $H\mu = \{h \circ \mu \mid h \in H\}$。
   • $H\mu$ 中的每个元素都是一个旋转（保持方向）和一个反射（改变方向）的复合，所以结果一定是改变方向的，即一定是一个反射。
   • $H\mu$ 中有 $|H| = n$ 个元素，并且它们互不相同。
   • 由于 $G$ 中总共只有 $n$ 个反射，所以 $H\mu$ 这个集合恰好就是 $G$ 中所有反射的集合。
   • 因此，群 $G$ 可以被完美地分解为两部分：旋转子群 $H$ 和反射集合 $H\mu$。

这是证明的最后一步，将上一步得到的抽象代数结构 ($G = H \cup H\mu$) 与一个具体的几何对象（正 $n$ 边形）联系起来，从而完成同构的证明。

1. 回到几何：
   • 我们处于情况二：群 $G$ 有 $n$ 个旋转和 $n$ 个反射。旋转子群 $H$ 是一个 $n$ 阶循环群，由一个最小角度为 $360/n$ 度的旋转 $\rho$ 生成。所有这些操作都围绕公共不动点 $P$ 进行。
   • $\mu$ 是我们从 $G$ 中随便选的一个反射。它的反射轴是一条穿过 $P$ 的直线 $L$。
2. 构造一个关键的几何图形：
   • 证明者非常巧妙地构造了一个正 $n$ 边形。这个正 $n$ 边形不是凭空来的，而是被群 $G$ 的结构“暗示”的。
   • 构造方法：
   • 中心：以公共不动点 $P$ 为中心。
   • 顶点位置：在反射 $\mu$ 的反射轴 $L$ 上，随便选一个不是 $P$ 的点 $V_1$，作为第一个顶点。
   • 其他顶点：用 $H$ 中的 $n$ 个旋转作用于 $V_1$，得到 $n$ 个点：$V_1, \rho(V_1), \rho^2(V_1), \ldots, \rho^{n-1}(V_1)$。
   • 为什么这 $n$ 个点构成一个正 $n$ 边形？因为它们都是从同一点 $V_1$ 通过绕中心 $P$ 旋转 $k \cdot (360/n)$ 度得到的，所以它们到 $P$ 的距离都相等（都在同一个圆上），且相邻顶点之间的夹角都是 $360/n$ 度。这正是正 $n$ 边形的定义。
3. 群 G 如何作用于这个正 n 边形：
   • 旋转部分 $H$：$H$ 中的 $n$ 个旋转（$\rho^0, \rho^1, \ldots, \rho^{n-1}$）作用在这个正 $n$ 边形上，会怎么样？它们恰好就是将这个正 $n$ 边形旋转到自身的所有 $n$ 个旋转对称操作。这正是二面体群 $D_n$ 中旋转子群的作用。
   • 反射部分 $H\mu$：$H\mu$ 的元素是形如 $\rho^k \circ \mu$ 的变换。让我们看看它们如何作用于这个正 $n$ 边形。
   • 首先，$\mu$ 作用于正 $n$ 边形。由于正 $n$ 边形的一个顶点 $V_1$ 就在 $\mu$ 的反射轴上，所以 $\mu$ 就是这个正 $n$ 边形的一次反射对称操作（沿着通过顶点 $V_1$ 和中心 $P$ 的对称轴的反射）。这个操作将正 $n$ 边形“翻转”了过来。
   • 然后，再对这个翻转过的正 $n$ 边形进行 $\rho^k$ 旋转。
   • 这一系列“先翻转再旋转”的操作，恰好对应了二面体群 $D_n$ 中所有的 $n$ 个反射操作。
   • 结论：群 $G$ 中的 $2n$ 个元素，作用在这个我们构造出来的正 $n$ 边形上时，其效果与正 $n$ 边形的对称群 $D_n$ 的 $2n$ 个元素的效果一一对应，完全相同。
4. 同构：
   • 这种一一对应的作用关系，正是群同构的体现。
   • 我们找到了一个几何对象（正 $n$ 边形），它的对称群是 $D_n$。而我们的抽象群 $G$ 作用在这个对象上的方式与 $D_n$ 完全一样。
   • 因此，我们可以得出结论，抽象群 $G$ 的内在结构与二面体群 $D_n$ 同构。
5. 证明完成：
   • 综合所有情况：任何有限平面等距变换群 $G$，要么只包含旋转（同构于 $\mathbb{Z}_n$），要么包含旋转和反射（同构于 $D_n$）。定理得证。

这段话从有限群转向无限群，引入了第一类要研究的无限对称群——离散带状群。

1. 从有限到无限：
   • 作者首先总结，关于有限群的分类已经完成（定理12.5）。现在要进入新的领域：无限等距变换群。
   • 这些群在现实世界中很常见，尤其是在艺术和装饰领域，如壁纸、地砖、饰边等。
2. 定义“离散带状” (Discrete Frieze)：
   • 带状：可以想象成一条无限长的花边或饰带。
   • 图案：这条带子是由一个“基本图案”或“母题”（motif）不断重复而成的。
   • 有限宽度和高度：这个基本图案本身的大小是有限的。
   • 无限重复：图案沿着一条直线（基线）向左右两个方向无限地复制粘贴。
   • 离散：这个词意味着重复的单位是分立的，不连续。也就是说，存在一个最小的平移距离，能让图案与自身重合。它排除了像一条光秃秃的直线那样的连续对称性。
3. 定义“带状群” (Frieze Group)：
   • 和之前定义对称群一样，带状群是特定带状图案的对称群。
   • 它包含了所有能让该无限带状图案整体保持不变的平面等距变换。
   • 一个对称操作要么将某个基本图案单元映射回自身，要么将它映射到这条带状上另一个完全相同的图案单元上。

这段话阐述了所有带状群的一个共性，并给出了第一个具体的带状群例子及其分析。

1. 带状群的共性：
   • 无限性：因为图案是无限重复的，所以总有无限多个平移操作（向左/右平移 $k$ 个单位，k为任意整数）可以让图案保持不变。因此，带状群必然是无限群。
   • 平移子群：所有这些平移操作构成一个子群。这个子群是由一个“最小正平移” $\tau$ 生成的（所有其他平移都是 $\tau$ 的重复应用，如 $\tau^2, \tau^3, \tau^{-1}$ 等）。这个由 $\tau$ 生成的循环群是无限阶的，其结构与整数加法群 $\mathbb{Z}$ 同构。这是所有离散带状群的共同核心。
2. 示例1：积分符号图案
   • 图案：... ∫∫∫ ... (原文用多个积分符号表示一个单元，这里简化)。关键在于单个积分符号 $\int$ 本身是中心对称的（旋转180度不变）。
   • 对称操作分析：
   • 平移 $\tau$：向右平移一个单位（一个 ∫∫∫ 单元的宽度）。这个操作以及它的任意整数次幂都是对称操作。
   • 旋转 $\rho$：绕任何一个 ∫ 符号的中心点旋转 $180^\circ$。由于 ∫ 是中心对称的，旋转后它会与自身重合。这是一个2阶操作（转两次等于没转）。
   • 反射/滑移反射：这个图案没有水平或垂直的反射对称性，也没有滑移反射对称性。
   • 群的生成元：作者指出，这个带状群的所有对称操作都可以由 $\tau$ 和 $\rho$ 这两个基本操作复合而成。它们是群的生成元。
3. 群的结构分析：
   • 非阿贝尔性：这个群是非交换的。我们可以验证 $\tau \rho \neq \rho \tau$。
   • 让我们来想象一下：
   • $\rho\tau(P)$: 先把点 $P$ 平移 $\tau$，然后再绕（新的）中心旋转 $\rho$。
   • $\tau\rho(P)$: 先绕（旧的）中心旋转 $\rho$，然后再平移 $\tau$。
   • 这两个操作的结果是不同的。
   • 关系式 $\tau \rho=\rho \tau^{-1}$：这是一个关键的代数关系，它定义了这两个生成元如何相互作用。
   • $\tau^{-1}$ 是向左平移一个单位。
   • 这个关系式意味着“先旋转再向右平移”等于“先向左平移再旋转”。这刻画了旋转中心是如何随着平移而移动的。
   • 与 $D_n$ 的类比：
   • 作者回顾了有限二面体群 $D_n$ 的一个标准表示：它由一个 $n$ 阶旋转 $\rho_1$ 和一个2阶反射 $\mu$ 生成，满足关系 $\rho_1 \mu = \mu \rho_1^{-1}$。
   • 我们的带状群由一个无限阶“旋转”（实际上是平移）$\tau$ 和一个2阶旋转 $\rho$ 生成，满足类似的关系 $\tau \rho = \rho \tau^{-1}$。
   • 命名为 $D_{\infty}$：
   • 基于这种深刻的结构相似性，这个带状群被命名为无限二面体群 $D_{\infty}$。它是有限二面体群 $D_n$ 在 $n \rightarrow \infty$ 时的极限情况。

这段话给出了第二个带状群的例子，并引出了与前一个例子完全不同的群结构。

1. 示例2：D字图案
   • 图案：... D D D D D ...
   • 对称操作分析：
   • 平移 $\tau$：向右平移一个 "D" 的宽度。这构成了同构于 $\mathbb{Z}$ 的平移子群。
   • 反射 $\mu$：字母 "D" 本身不是中心对称的，所以没有180度旋转。但是，它有一个水平的对称轴（穿过D的圆弧的顶端和底端的中线）。关于这条水平线的反射是一个对称操作。这是一个2阶操作（$\mu^2=e$）。
   • 这个图案没有垂直反射，也没有非平凡的旋转。
   • 群的生成元：这个带状群由平移 $\tau$ 和水平反射 $\mu$ 生成。
2. 群的结构分析：
   • 阿贝尔性：作者指出，这次的生成元是交换的，即 $\tau \mu = \mu \tau$。
   • 让我们来想象一下：
   • $\mu\tau(P)$: 先将点 $P$ 向右平移，然后再关于水平线反射。
   • $\tau\mu(P)$: 先将点 $P$ 关于水平线反射，然后再向右平移。
   • 因为平移是水平的，反射轴也是水平的，所以这两个操作互不干涉，执行的顺序不影响最终结果。
   • 群的结构：
   • 我们有一个无限循环的元素 $\tau$ (生成 $\mathbb{Z}$ 群) 和一个2阶元素 $\mu$ (生成 $\mathbb{Z}_2$ 群)。
   • 它们相互交换。
   • 当两个群的生成元相互交换时，整个群的结构就是这两个群的直积（Direct Product）。
   • 命名为 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$：
   • 因此，这个阿贝尔带状群的结构被识别为 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$。群中的每个元素都可以唯一地表示为 $(\tau^k, \mu^j)$ 的形式，其中 $k$ 是任意整数，$j$ 是0或1。

这段话总结了离散带状群的完整分类结果。

1. 分类标准：
   • 作者提出了一个分类方案，依据是带状群中是否存在以下四种类型的对称操作（除了所有群都必有的平移）：
   • 旋转（必然是180度的旋转）
   • 垂直轴反射（反射轴垂直于带状的基线）
   • 水平轴反射（反射轴就是带状的基线）
   • 非平凡滑移反射
   • 基于这几种对称元素是否存在及其组合，可以划分出所有可能的带状图案类型。
2. 分类结果：七种类型：
   • 作者断言，通过上述标准，可以不多不少地分出七种不同的带状图案。这七种类型在几何上是不同的，因为它们的对称元素组合不同。
   • 作者提到，练习部分将展示这七种情况。
3. 对“非平凡滑移反射”的澄清：
   • 这个概念有点微妙。一个滑移反射 $\gamma$ 是由一个反射 $\mu$ 和一个平移 $\tau'$ 复合而成, $\gamma = \tau' \circ \mu$。
   • 如果这个带状群 $G$ 本身就包含一个反射 $\mu_0$（比如水平反射）和一个平移 $\tau_0$，那么它们的复合 $\tau_0 \circ \mu_0$ 也是一个滑移反射。但我们称其为“平凡的”，因为它是由群中已有的更基本的元素（一个独立的反射和一个独立的平移）构造出来的。
   • 一个非平凡滑移反射 $\gamma$ 是指，它本身是群 $G$ 的一个元素，但它的组成部分——无论是它的反射部分 $\mu$ 还是它的平移部分 $\tau'$——都不单独作为元素存在于群 $G$ 中。这个滑移反射是一个“原生”的对称操作，不能被分解为群内更简单的部分。
   • 作者举了一个例子，... < > < > ... 或 ... v ^ v ^ ... 图案（原文图片缺失，可脑补），它的对称群只包含平移和滑移反射。它没有单纯的反射，也没有180度旋转。它的滑移反射就是非平凡的。
4. 代数结构分类：
   • 虽然有七种几何上不同的带状类型，但它们的对称群从抽象代数的角度看（即同构分类），只有四种不同的结构。
   • 这四种代数结构是：
   • $\mathbb{Z}$：最简单的，只有平移对称性。例如 ... F F F F ...。
   • $D_{\infty}$：平移 + 180度旋转（或垂直反射）。例如 ... ∫∫∫ ... 或 ... N N N ...。
   • $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$：平移和水平反射可以交换。例如 ... D D D ...。
   • $D_{\infty} \times \mathbb{Z}_2$：这是最复杂的结构，可以看作是 $D_\infty$ 和一个与之交换的 $\mathbb{Z}_2$（通常是水平反射）的直积。例如 ... H H H ...，它既有垂直反射，又有水平反射，还有180度旋转。
5. 几何与代数的关系：
   • 这意味着，可能会有多个几何上不同的带状类型，它们对应着同一个代数结构的对称群。
   • 例如，一个只有平移和垂直反射的带状（... | | | ...，假设竖线有朝向），和一个只有平移和180度旋转的带状（... S S S ...），它们的对称群虽然几何元素不同（一个是反射，一个是旋转），但代数结构都是 $D_\infty$。

这段话将研究的维度从一维（带状）提升到了二维（平面），引入了壁纸群的概念。

1. 从一维到二维重复：
   • 带状图案是沿一个方向（一维）重复。
   • 现在考虑沿两个不平行的方向进行重复，从而铺满整个二维平面。
   • 这种图案的典型例子就是壁纸、地砖或织物上的花纹。
2. 基本单元（晶胞）：
   • 这种重复是由一个基本单元（作者提到了正方形、平行四边形、菱形、六边形等）通过平移生成的。这个基本单元在晶体学中称为晶胞（unit cell）。
   • 整个平面图案可以通过将这个晶胞沿两个平移向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 无限复制粘贴得到。
3. 定义“壁纸群” (Wallpaper Group / Plane Crystallographic Group)：
   • 一个壁纸图案的对称群被称为壁纸群或平面晶体群。
   • 它包含了所有能让该无限平面图案保持不变的平面等距变换。
4. 与带状群的关键区别：
   • 平移子群：壁纸群的平移子群是由两个不平行的平移向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 生成的，其结构同构于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$（或写作 $\mathbb{Z}^2$）。而带状群的平移子群同构于 $\mathbb{Z}$。
   • 旋转对称性：这是更本质的区别。由于图案必须能无缝隙地铺满整个平面，这给可能的旋转对称性带来了严格的限制。这个限制被称为晶体学限制定理 (Crystallographic Restriction Theorem)。
   • 带状群只允许有 $180^\circ$ 的旋转。
   • 壁纸群除了 $180^\circ$ 旋转，还可能允许有 $60^\circ$ (六重对称)、$90^\circ$ (四重对称)、$120^\circ$ (三重对称) 的旋转。
   • 但是，像 $72^\circ$ (五重对称) 或任意其他角度的旋转是不可能的，因为五边形无法无缝铺满平面。

这段话通过一个具体的正方形网格例子，深入分析了一个壁纸群的构成。

1. 示例：正方形网格 (图12.6)
   • 图案：由完全相同的正方形无缝铺满整个平面，像一张棋盘格。
2. 对称操作与生成元：
   • 作者列举了生成这个壁纸群所需的基本操作（生成元）：
   • 两个平移：
   • $\tau_h$: 水平向右平移一个正方形的边长。
   • $\tau_v$: 垂直向上平移一个正方形的边长。
   • 所有其他的平移操作（如斜向移动）都可以由这两个基本平移的复合得到 (e.g., $\tau_h^a \tau_v^b$)。这些平移构成了同构于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的平移子群。
   • 一个旋转：
   • 绕任何一个正方形的中心旋转 $90^\circ$。这是一个四重旋转中心。
   • 一个反射：
   • 关于任何一条垂直或水平的网格线进行反射。
   • 作者指出，只需要一个反射作为生成元就够了，因为其他的反射和旋转可以通过它与平移、旋转的复合得到。例如，一个对角线反射也可以。这个反射操作的作用是“翻转平面”，引入改变方向的变换。
3. 群的结构分析：
   • 这个壁纸群的结构相当复杂。作者指出了它的两个重要组成部分：
   • 平移子群 $T$：由 $\tau_h$ 和 $\tau_v$ 生成，同构于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。这是一个正规子群。
   • 点群 (Point Group)：考虑所有固定一个特定点（例如某个正方形的中心）的对称操作。这些操作构成了该正方形自身的对称群，即二面体群 $D_4$。这个群包含了绕该中心的所有旋转和通过该中心的所有反射。
   • 整个壁纸群 $G$ 可以被看作是平移子群 $T$ 和点群 $D_4$ 的某种结合。这种结合在数学上称为半直积，记作 $G \cong T \rtimes D_4 = (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) \rtimes D_4$。这是一个非阿贝尔群。

这是本节的收尾部分，给出了壁纸群的完整分类结果，并将其与三维情况和艺术联系起来。

1. 对称性的降低：
   • 作者用平行四边形网格（图12.7）与正方形网格对比，说明基本单元的对称性会直接影响整个图案的对称性。
   • 一个普通的平行四边形（不是菱形或矩形）只有中心对称性（180度旋转），没有90度旋转，也没有反射对称。
   • 因此，由它铺成的壁纸图案，其对称群的对称性也大大降低。它只包含：
   • 两个方向的平移。
   • 绕平行四边形顶点或中心的 $180^\circ$ 旋转。
   • 这个壁纸群的点群是 $C_2$ (或 $\mathbb{Z}_2$)，而不是 $D_4$。
2. 二维壁纸群的分类结果：
   • 作者给出了二维情况下一个里程碑式的结论：不多不少，正好存在 17 种不同的壁纸群。
   • 这个分类也是基于群内包含的对称元素类型：不同阶的旋转中心、反射轴、滑移反射轴的存在与否及其相对位置。
   • 这是一个在19世纪末由费奥多罗夫和舍恩弗利斯等人独立完成的伟大数学成就。
   • 作者没有详细列出这17种，而是建议读者参考其他资料（Gallian [8]）。
3. 推广到三维：
   • 作者将视野再次拔高，提到三维空间中的情况。
   • 三维的周期性图案对称群被称为三维空间群或晶体群。
   • 其分类更为复杂，结果是存在不多不少 230 种不同的三维空间群。
   • 这个结果是固体物理和晶体学的理论基石，因为它完整描述了晶体中原子所有可能的对称排列方式。
4. 与艺术的联系：
   • 最后，作者提到了荷兰艺术家M. C. Escher（埃舍尔）。
   • 埃舍尔以其充满数学之美的版画而闻名，其中很大一部分作品就是对壁纸群的艺术探索。他精妙地将鱼、鸟、蜥蜴等具体形象作为基本单元，严谨地按照17种壁纸群的对称性规则来铺满整个平面，创造出令人惊叹的“平面规则分割”艺术。
   • 提及埃舍尔是为了说明这些抽象的数学概念在艺术创作中可以找到具体而生动的应用。